平面向量的概念及运算(五)

Ⅴ、平面向量的解题技巧

1. 向量的概念，向量的基本运算
(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念.
(2)掌握向量的加法和减法.
(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.
(6)掌握平面两点间的距离公式.
例1已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
例2．在中，，M为BC的中点，则______.（用表示）
例3．如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量(  )
（A）        （B）
（C）         （D）
例4．与向量=的夹解相等，且模为1的向量是  (  )
　(A)                       (B) 或
　（C）                  （D）或
例5．设向量与的夹角为，且，，则__．
例6.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则= （）
（A）        （B）       （C）      （D）
例7.设平面向量、、的和.如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（   ）
　　（A）                     （B）
　　（C）                      （D）
2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合
(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.
(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度比较大.
例8．设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点，
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.
又例：设函数.其中向量.
（Ⅰ）求实数的值; （Ⅱ）求函数的最小值.
例9．已知的面积为，且满足，设和的夹角为．
（I）求的取值范围   （II）求函数的最大
例10．　已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0)
（1）若c=5，求sin∠A的值；（2）若∠A为钝角，求c的取值范围；
例11．在中，角的对边分别为．
（1）求；（2）若，且，求．
例12.设函数，其中向量,.（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.
例13．已知向量＝(sinθ，1)，＝(1，cosθ)，－＜θ＜．
（Ⅰ）若⊥，求θ；   （Ⅱ）求｜＋｜的最大值．
例14．如图，三定点三动点D、E、M满足
（I）求动直线DE斜率的变化范围；
（II）求动点M的轨迹方程。
例15．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明·为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
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一、选择题
1．已知的值为（    ）
A．－6 B．6 C． D．－
2．已知△ABC中，点D在BC边上，且则的值是（  ）
A． B． C．－3 D．0
3．把直线按向量平移后，所得直线与圆相切，则实数的值为（  ）
A．39 B．13 C．－21 D．－39
4．给出下列命题：①·=0，则=0或=0.   ②若为单位向量且//，则=||·.
③··=||3.  ④若与共线，与共线，则与共线.其中正确的个数是（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5.在以下关于向量的命题中，不正确的是（    ）
A.若向量a=(x，y)，向量b=(－y，x)(x、y≠0)，则a⊥b
B.四边形ABCD是菱形的充要条件是=，且||=||
C.点G是△ABC的重心，则++=0
D.△ABC中，和的夹角等于180°－A
6.若O为平行四边形ABCD的中心， = 4e1, = 6e2,则3e2－2e1等于（    ）
A.              B.               C.                   D.
7.将函数y=x+2的图象按a=（6，－2）平移后，得到的新图象的解析式为（    ）
A.y=x+10 B.y=x－6         C.y=x+6 D.y=x－10
8.已知向量m=(a,b)，向量m⊥n且|m|=|n|,则n的坐标为（   ）
A.（a, －b） B.( －a,b) C.(b, －a) D.( －b, －a)
9.给出如下命题：命题（1）设e1、e2是平面内两个已知向量，则对于平面内任意向量a,都存在惟一的一对实数x、y，使a=xe1+ye2成立；命题（2）若定义域为R的函数f(x)恒满足｜f(－x)｜=｜f(x)｜,则f(x)或为奇函数，或为偶函数.则下述判断正确的是（    ）
A.命题（1）（2）均为假命题
B.命题（1）（2）均为真命题
C.命题（1）为真命题，命题（2）为假命题
D.命题（1）为假命题，命题（2）为真命题
10．若|a+b|=|a-b|，则向量a与b的关系是（    ）
A. a=或b=         B.|a|=|b|       C. a?b=0        D.以上都不对
11．O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
则P的轨迹一定通过△ABC的 （    ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
12． 若,  ,  则= （    ）
A．  4        B．  15        C．  7        D．  3
二、填空题
1．已知与的夹角为60°，则与－的夹角余弦为     .
2． 已知＝（-4,2,x），＝(2,1,3),且⊥，则x＝           .
3． 向量 ，，则和所夹角是
4． 已知A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1), 点D满足条件：DB⊥AC, DC⊥AB,    AD=BC, 则D的坐标为          .
5． 设是直线，是平面，，向量在上，向量在上，，则所成二面角中较小的一个的大小为          ．
三、解答题
1.△ABC中，三个内角分别是A、B、C，向量时，求.2.在平行四边形ABCD中，A（1，1），，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.
（1）若求点C的坐标；
（2）当时，求点P的轨迹.
3.平面内三个力，，作用于同丄点O且处于平衡状态，已知，的大小分别为1kg，kg，、的夹角是45°，求的大小及与夹角的大小.
4.已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
5.设a=(1+cosα,sinα), b=(1－cosβ,sinβ),c=(1,0),α∈(0,π)β∈(π,2π),a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2,且θ1－θ2=，求sin.
6.已知平面向量a=（，－1），b=（，）.
(1)证明：a⊥b；
(2)若存在实数k和t，使得x=a+(t2－3)b,y=－ka+tb,且x⊥y，试求函数关系式k=f(t);
(3)根据（2）的结论，确定k=f(t)的单调区间.