平面向量的概念及运算(四)

Ⅳ、空间夹角和距离

1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
（1）异面直线所成的角的范围是。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
　　具体步骤如下：
　　①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；
　　②证明作出的角即为所求的角；
　　③利用三角形来求角。
（2）直线与平面所成的角的范围是。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
　　具体步骤如下：
　　①找过斜线上一点与平面垂直的直线；
　　②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；
　　③把该角置于三角形中计算。
　　注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有；
（3）确定点的射影位置有以下几种方法：
①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；
②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；
③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；
④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：
a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；
b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；
c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；
（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法　　　　①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；
　　②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱(高中学习网WwW.GaoZhong.CC/)作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；
　　③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
　　斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。
2．空间的距离
（1）点到直线的距离：点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。
　　点到平面的距离：点Ｐ到平面的距离为点Ｐ到平面的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为，则点Ａ，Ｂ到平面的距离之比也为．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面的距离相等；③体积法
（2）异面直线间的距离：异面直线间的距离为间的公垂线段的长．常有求法①先证线段ＡＢ为异面直线的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离．③找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离。
（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。
（4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。
　　以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。
3．空间向量的应用
（1）用法向量求异面直线间的距离
　　如右图所示，a、b是两异面直线，是a和b 的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线 a与b之间的距离是 ；　　　　　　（2）用法向量求点到平面的距离
　　如右图所示，已知AB是平面α的 一条斜线，为平面α的法向量，则 A到平面α的距离为；　　　　
（3）用法向量求直线到平面间的距离
　　首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。
（4）用法向量求两平行平面间的距离
　　首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。
（5）用法向量求二面角
　　如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量与，则平面α与β所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。　　　　　　（6）法向量求直线与平面所成的角
　　要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量与直线a的夹角的余弦，易知θ=或者。
典例解析
题型1：异面直线所成的角
例1．（1）直三棱住A1B1C1-ABC，∠BCA=，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（  ）
　　  （A ）   （B）  （C） （D）
　　（2）已知二面角的大小为，为异面直线，且，则所成的角为（  ）（A）   （B）     （C）   （D）
例2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点。求：D1E与平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示）　　　　　　　　　　　　　　　　　　题型2：直线与平面所成的角
例1．PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（  ）
　　A.       B.   C.    D.　　　　　　　　
例2．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90?，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用余弦值表示）；　　　　　　　　　　　　　　　　　　题型3：二面角
例1．在四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，E为BC中点。（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小（用正切值表示）；（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。　　　　　　又例：如图：将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD－PQMN，则PQ⊥PA、PD，于是∠APD是两面所成二面角的平面角。
例2．（1）如图6，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且。求二面角的大小。
　　　（2）已知球的半径是1，、、三点都在球面上，、两点和、两点的球面距离都是，、两点的球面距离是，则二面角的大小是（    ）
　　（A）            （B）           （C）            （D）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型4：异面直线间的距离
例1．如图，已知正方体ＡＢＣＤ－棱长为，求异面直线ＢＤ与Ｃ的距离．　　　　　　　　　　　　　　　　　　例2．如图2，正四棱锥的高，底边长。求异面直线和之间的距离？　　　　　　　　　　　　　　　　　　题型5：点面距离
例1．如图，已知ＡＢＣＤ为边长是４的正方形，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在的平面，且ＧＣ＝２，求点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2．（1）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：______（写出所有正确结论的编号） ①3；     ②4；    ③5；    ④6；    ⑤7
　　（2）平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：①1；     ②2；    ③3；    ④4；   以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型6：线面距离
例1．已知正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是AC的中点。（1）求点到直线AC的距离。（2）求直线到平面的距离。　　　　　　　　　　　　　　　　
例2．如图7，已知边长为的正三角形中，、分别为和的中点，面，且，设平面过且与平行。 求与平面间的距离？　　　　　　　　　　　　　　　　
思维总结
1．这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识（特别是余弦定理）熟练解题。特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来，这里要特别注意平面角的探求；
2．把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤："作"、"证"、"算"。
3．求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：
　　①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置；
　　②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两"足"（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理；
　　③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：
　　根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线。解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面。
　　作二面角的平面角应把握先找后作的原则。此外在解答题中一般不用公式"cosθ＝"求二面角否则要适当扣分。
　　④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质。而间接法中常用的是等积法及转移法；
　　⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离。
4．注意数学中的转化思想的运用
　　（1）常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；
　　（2）常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置；
　　（3）常用割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题。